わからん
随時更新していきます。
以下、盤面サイズは外側マスをのぞいてカウントします (なので普通の10*10に書くと9*9になります)
問題
・9*9, 行と列に 1 が 3 個、2 が 6 個あるものは、対称を除き 10 通り。全探索で確認。
124 167
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.21222222222121222241i41i42i41i42i42i42i42i42i
125 146
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.21222221222122222241i41i42i42i41i42i42i42i42i
126 127
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.21212222222221222241i41i42i42i42i41i42i42i42i
126 167
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.21222222222121222241i41i42i42i42i41i42i42i42i
126 347
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22222121222221222241i41i42i42i42i41i42i42i42i
127 267
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22212222222121222241i41i42i42i42i42i41i42i42i
127 348
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22222121222222212241i41i42i42i42i42i41i42i42i
137 235
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22212122212222222241i42i41i42i42i42i41i42i42i
137 237
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22212122222221222241i42i41i42i42i42i41i42i42i
236 356
http://pzv.jp/p.html?yajilin/b/10/10/0.22222122212122222242i41i41i42i42i41i42i42i42i
・それ以外で、9*9, 行と列に1 or 2 しかない唯一解の問題は存在しないっぽいです。まじか。
・0+1+2*7 と 1*3+3*6 の組み合わせだと、唯一解になるのは 6 個 (対称除く)。以下、(0の位置, 1の位置), (1の位置たち) です (1-indexed)：
(2, 4), (3, 4, 6)
(2, 6), (3, 4, 6)
(3, 1), (1, 4, 7)
(4, 2), (1, 4, 6)
(4, 2), (3, 4, 6)
(5, 1), (1, 4, 5)
考察
・偶奇がある。
1*3+2*6 ケースだと、行と列で 1 の位置の和の偶奇が一致するものはすべて解なし。
他のサイズでも似たようなことが起きていた。
星を各行各列に1つずつ置くとき、対角線上に星を並べ、「二つの行を入れ替える」を繰り返すことで、任意の置き方を作れる。盤面を市松に塗ると、「」内の操作で黒のマス側にある星の数が奇数個変化することは無い。よって特に一辺4n+2マスの盤面では星以外のマスを一度ずつ通るループは書けない。
— にしなんとか (@chebunanntoka) 2019年3月24日
これに近い議論ができる。
このツイートの例で説明すると、盤面を左上黒で市松に塗ったとき、(x, y) が黒 iff x+y = 0 mod 2 となる。これを全未使用マスに適用すれば、未使用マスで黒のものは「(全部のヒントの分配を考えて) 1, 2, ... ,10 が 2 セットをペア 10 組に分けて和が偶数になるもの」の個数だけある。これは偶数個だが、一方ループを引くには黒 が 5 個 (奇数個) 必要で矛盾。といった議論になる。
